Создайте в вашей форме скрытое поле для записи значения Client ID. Для примера присвоем ему id="clientId"

<input type="hidden" name="clientId" id="clientId">

Создайте скрипт следующего содержания:

ga(function() {
  var trackers = ga.getAll().forEach( (tracker) => {
	var clientId = tracker.get('clientId');
	document.getElementById('ga_cid').value = clientId;
  })
});

Если скрипт не сработал, то вот альтернативный вариант

var match = document.cookie.match('(?:^|;)\\s*_ga=([^;]*)');
var raw = (match) ? decodeURIComponent(match[1]) : null;
if (raw){
	match = raw.match(/(\d+\.\d+)$/);
}
var gacid = (match) ? match[1] : null;
if (gacid) {
	document.getElementById('clientId').value = gacid;
}

Теперь в поле clientId будет записан ID посетителя сайта. Как им воспользоваться далее - решать только вам.